Більше

Вирізати набір прямокутників (не квадрати) на трикутники за допомогою ArcGIS для робочого столу?


У мене є кілька великих функцій, які мені потрібно розділити на менші частини для вирівнювання місцевості за допомогою вершин іншої програми. Я вважав, що найкращим рішенням будуть трикутники.

Отже, я хочу змінити це:

в це:

На жаль, останній образ - це макет. Я мав певний успіх з інструментом ажурної мережі та перетинанням, щоб створити прямокутники, але я не можу вивести з нього трикутники. Поворот сітки не працює, оскільки прямокутники не квадратні. Будь-які ідеї, які не передбачають ручного різання?


Одне з декількох рішень. Створіть точки всередині багатокутника, це зробить ажурна мережа. Додайте вершини багатокутників до цього набору. Створіть ІПН. Експортуйте олов’яні трикутники та обріжте їх:

Оновлена ​​відповідь щодо створення балів. Сценарій нижче працює від ArcGIS і приймає 3 параметри:

  1. Шар в TOC. Використовується для визначення обсягу.
  2. Відстань між точками, введіть double
  3. Точковий шар (порожній)

імпортувати arcpy, traceback, os, sys ступеніLayer = arcpy.GetParameterAsText (0) xStep = float (arcpy.GetParameterAsText (1)) destLayer = arcpy.GetParameterAsText (2)

try: def showPyMessage (): arcpy.AddMessage (str (time.ctime ()) + "-" + message) def isLayerExist (lName): layer = arcpy.mapping.ListLayers (mxd, lName) [0] ext = шар .getSelectedExtent () return (шар, ext) mxd = arcpy.mapping.MapDocument ("CURRENT") destLayer, anExt = isLayerExist (destLayer) obsegLayer, anExt = isLayerExist (obsegLayer) yMin, yMax, xS, xMax, xS, xMax anExt.YMax, anExt.XMin, anExt.XMax yStep = xStep / 2 * math.pow (3.0,0.5) curT = arcpy.da.InsertCursor (destLayer, "SHAPE @") p = arcpy.Point () iMax = int ((yMax-yMin) / yStep) +2 jMax = int ((xE-xS) / xStep) +2 для i в діапазоні (iMax): Y = yMin + i * yStep xStart = xS + i% 2 * xStep / 2 xEnd = xE + i% 2 * xStep / 2 для j в діапазоні (jMax): X = xStart + j * xStep pX, pY = X, Y theRow = (p,) curT.insertRow (theRow), крім: message = " n *** ПОМИЛКИ ПІФОНУ ***"; showPyMessage () message = "Інформація про відстеження Python:" + traceback.format_tb (sys.exc_info () [2]) [0]; showPyMessage () message = "Інформація про помилку Python:" + str (sys.exc_type) + ":" + str (sys.exc_value) + " n"; showPyMessage ()

Геометрична галантерейна задача - варіація квадрата до рівностороннього трикутника

Нагадаю проблему галантерея, запропоновану в 1907 році композитором-головоломкою Генрі Дудені. Розріжте рівносторонній трикутник на квадрат, маючи лише три вирізи.

Я хотів би запропонувати різновид проблеми галантереї. Уявіть, що квадрат зроблений із двох кольорових паперів. Ось так - одна сторона червона, а інша жовта:

Ось мій варіант загадки, уточнений після коментарів
Виріжте квадрат із найменшою кількістю вирізів, щоб утворити рівносторонній трикутник, за умови, що:

  1. Принаймні один елемент перекидається на іншу сторону.
  2. Принаймні один елемент залишається на вихідній стороні.
  3. Перевернутий елемент асиметричний.

(Я б дуже вітав пропозиції переформулювати загадку меншими словами.)

Так скажімо, у нас є квадрат, пофарбований червоним кольором з одного боку та жовтим з іншого. Починаючи з повністю червоного квадрата, ми будуємо червоно-жовтий трикутник. Третя умова забороняє гортати рівнобедрені трикутники або квадрати. Іншими словами, перевернутий елемент може не залишатися не перевернутим.

Я підозрюю, що існує рішення:

Ці рішення я хотів би знайти. Я хотів би виключити всі тривіальні рішення на основі асиметричних дзеркальних фігур, таких як букви db.

Оновлення. Будьте уважні. Фігури в оригінальному розчині Генрі Дадені не симетричні. Точні заходи представлені тут:


Доказ площі трапеції поділом її на два трикутники?

Я намагаюся зрозуміти, як виводиться формула площі трапеції з рівно двома паралельними сторонами. У моєму підручнику сказано, що формула площі трапеції виводиться шляхом поділу трапеції на два трикутники - один з основою a і висотою h, а другий з основою b і висотою h.

Я намалював цю схему в GeoGebra. Можливо, вона не намальована в масштабі (вона не співпадає) зі схемою в моєму підручнику, але насправді вона схожа. Я фактично відсканував схему зі свого підручника, а потім зробив цю схему поверх неї. У підручнику вони не позначили вершин. Але я назвав вершини (сині) для спрощення пояснення, щоб нам було на що посилатися.

Наведена вище формула наводиться у підручнику.

Із самого його вигляду це взагалі має для вас сенс? Вони намалювали цю схему і назвали її сторони як a, b, c і d. Вони також намалювали висоту h та діагональ DB.

Я не можу встановити зв’язок із формулою. І я бачив фактичний доказ площі такої трапеції на веб-сайті. Існує щонайменше два різних докази площі трапеції. Мабуть, найпоширенішим доказом є те, де ви розділили б трапецію на два трикутники та прямокутник. Але два трикутники.

Тож я прошу, щоб хтось навів мені доказ того, що формулу площі трапеції можна вивести, розділивши трапецію на два трикутники, як зазначено на цій діаграмі.

Я знаю, що площа трикутника дорівнює основі, помноженій на висоту, поділену на два, або вдвічі більше основи, помноженої на висоту. Це, по суті, половина площі прямокутника. Отже, якщо я розглядаю першу частину формули вище, я отримую це.

(Завантаження зображення в Imgur наразі не працює. Я повернусь до нього.)

Я обмежив висоту DF. Площа трикутника DBE становить половину площі DFBE.

$ [BGA] =$

Я побудував висоту AH. Площа трикутника BHA становить половину площі BEHA.

Але це дає мені перекривається трикутник GBH. Він накладається на трикутник DBE. Чи дорівнює площа GBH площі AGD?

А як щодо трикутників EBC і DFA?

Думаю, я зрозумів це зараз. Тож ось ця друга діаграма знову.

І ось ще раз третя діаграма.

Цього разу вони не однакового розміру. Я думаю, що я неправильно прийняв масштаб при експорті до зображення PNG. Але тут ви бачите, що я затінив і виміряв площі прямокутників і трикутників, щоб показати, як він взаємодіє з площею трапеції.

Я знаю, що це насправді не є офіційним доказом площі трапеції. Але я думаю, що це для мене зараз має сенс. Мене бентежило те, що трикутник ABD не мав ні висоти, ні висоти. Або це не було в самому трикутнику, воно було зовні трикутника. А також мені було важко бачити, як це перекриття частини парникових газів "перетворює" (або як ви хочете це назвати) в інший порожній простір. Але зараз я бачу це чіткіше.

То це справді походить із формули площі трикутника тоді? А може, ми можемо сказати, що площа трикутника використовується як постулат для доведення площі трапеції?


Якщо пластик не надто товстий, тоді ви можете спробувати це:

  1. Покрийте поверхню пластику малярським скотчем, щоб не подряпати його.
  2. Позначте прямокутник, який потрібно вирізати.
  3. За допомогою дуже гострого ножа забийте краї прямокутника в бік металевої лінійки.
  4. Вирізайте ножем все глибші канавки, поки зрештою не вдасться виштовхнути прямокутник.
  5. Зафіксуйте шорсткі краї та вийміть стрічку.

Просвердлите отвір 6 мм і за допомогою східчастого свердла розкрийте його принаймні на 10 мм. Ступінчаста дриль - найкращий спосіб зробити великі отвори в тонких матеріалах, вона не захоплює так сильно, як це робить велика свердла.

Потім за допомогою «ручного нібле» відкрийте його прямокутним. Ви можете просвердлити більше великих отворів за допомогою східчастого свердла, щоб зменшити кількість необхідних гризок.

Я зробив вирізи для цього проекту за допомогою ніблера:

Питання старе, але я також мав чимало клопотів, щоб це правильно зрозуміти, тому варто відповісти.

Намалюйте прямокутник олівцем або тонким фломастером. Ви можете очистити це пізніше. Я іноді малюю цілу панель міліметровим міліметровим папером і приклеюю її на пластикову коробку, щоб речі були ідеально вирівняні та розподілені. Переконайтесь, що ви правильно виконали вимірювання.

За допомогою свердла розміром 1 мм або менше (у вас, можливо, є такий для свердління друкованих плат), зробіть отвір на кожному куті прямокутника. Використовуючи лінійку та отвори як напрямну, намалюйте X по прямокутнику та зробіть отвір 1 мм по центру, де лінії перетинаються.

За допомогою свердла більшого розміру та використовуючи отвір 1 мм як напрямну, зробіть центральний отвір досить великим, щоб вмістити полотно лобзика.

За допомогою лобзика акуратно виріжте уздовж ліній X, поки не дійдете до отворів 1 мм на кутах. Так вийде 4 трикутники.

Дуже гострим ножем (я використовую різак для коробок) та лінійкою обережно зробіть надріз по краях прямокутника, використовуючи отвори на кутах як напрямну. Можливо, ви завжди хочете різати від кута до центру, по половині, щоб уникнути пошкодження протилежного кута. Робіть виріз все глибше і глибше, одночасно натискаючи трикутник, поки не зможете його відламати. Якщо можете, зробіть це з обох сторін, це дає більш чистий розріз.


П'ять рівних квадратів можна розрізати загалом на дев'ять частин, які можна скласти, щоб утворити єдиний квадрат. Подивіться цю демонстрацію Wolfram.

РЕДАГУВАТИ: Ви розрізаєте чотири квадрати (одиниці) на дві частини кожен, і таким же чином: вирізаєте вздовж лінії від кута до середини сторони. Два шматки кожного з цих квадратів можна скласти назад, утворюючи прямокутний трикутник зі сторонами 1 і 2, і гіпотенузувати $ sqrt5 $. Потім чотири трикутники можна розмістити навколо квадрата, що залишився, щоб сформувати великий квадрат зі стороною $ sqrt5 $.

Якщо ви хочете побачити його у зворотному напрямку, почніть з великого квадрата і виріжте від кожного кута до середини бічного північно-західного кута до південної сторони, північно-східного кута до західної сторони, SE до N та SW до E. Це скорочує великий квадрат у 9 штук. Одна з 9 штук - це квадрат. Інші 8 - це 4 маленькі трикутники та 4 трапеції. Кожен трикутник можна прикріпити до трапеції, щоб утворити ще один маленький квадрат.


Покрийте увігнутий багатокутник мінімальною кількістю прямокутників

Я набираюся, щоб покрити простий увігнутий багатокутник з мінімальними прямокутниками. Мої прямокутники можуть бути будь-якої довжини, але вони мають максимальну ширину, і багатокутник ніколи не матиме гострого кута.

Я думав про спробу розкласти мій увігнутий багатокутник на трикутники, які утворюють набір мінімально перекриваються прямокутників, мінімально обмежують кожен трикутник, а потім об’єднати ці прямокутники у більші. Однак я не думаю, що це буде працювати для невеликих вирізів по краях багатокутника. Трикутники, створені рефлекторними вершинами на цих вирізах, створять неправильні прямокутники. Я шукаю прямокутники, які будуть охоплювати / ігнорувати вирізи.

Я насправді нічого не знаю про обчислювальну геометрію, тому я не дуже впевнений, як почати задавати питання.

Я знайшов інші публікації, подібні, але не те, що мені потрібно:

Кілька прикладів: чорним кольором є вхідні дані. Червоний - прийнятний вихід.

Інший приклад: Другий вихід є кращим. Однак генерувати обидва результати та використовувати інший фактор для визначення переваги, мабуть, необхідно, а не відповідальність цього алгоритму.

Полігони, що імітують криві, надзвичайно рідкісні. У цьому сценарії значна частина площі прямокутників марно витрачена. Однак це прийнятно, оскільки кожен прямокутник відповідає обмеженню максимальної ширини.

Крім того, я виявив, що ця стаття близька до того, що мені потрібно:

Можливо, краще запитання: "Як я можу визначити прямокутні частини увігнутого багатокутника?"

Ось зображення, що показує бажану реалізацію:

Зелений - це фактичне використання матеріалу. Червоні прямокутники - це макети. Синій - MBR всього багатокутника. Я думаю, мені слід спробувати отримати маленькі MBR та заповнити їх. 2-3 зелені прямокутники у верхньому лівому куті, що закінчуються в середині багатокутника, дорогі. Це те, що я хочу мінімізувати. Зелені прямокутники мають мінімальну та максимальну ширину та висоту, але я можу використовувати стільки рядків і стовпців, скільки потрібно для покриття регіону. Знову ж таки, я повинен мінімізувати кількість прямокутників, які не охоплюють вхід. Я також можу змінити форму зеленого прямокутника відповідно до невеликих місць, що також дуже дорого. Іншими словами, отримати якомога більше прямокутників, щоб вони охоплювали якомога більше, ідеально.

Можливо, мені слід просто спробувати визначити прямокутні області, як це:

Або, можливо, кращим підходом було б використання прямокутників із найбільшими вписаними замість MBR. Я міг постійно скорочувати свій багатокутник за допомогою прямокутників, поки не залишатимуться регіони, коли найбільший вписаний прямокутник не поділяє ребро з вихідним багатокутником. З іншими регіонами потрібно було б обробляти евристичний підхід.

Я працюю з інженерно-виробничим підрозділом на своїй компанії, щоб пояснити цю проблему. Я все ще чекаю підтвердження, але зараз думаю, що алгоритм, який повертав би набори найбільших вписаних прямокутників, спрацював би. Хоча він не повністю охоплює форму, він надав би перевагу ортогональним областям, залишаючи неортогональні області деяким евристичним характеристикам. Єдина хитрість - максимізувати ці ортогональні області.


3 відповіді 3

Як зауважив Ноам Елкі, будь-який гострий не рівнобедрені трикутник можна викласти плиткою трьома попарно не конгруентними рівнобедреними трикутниками, з'єднавши кожну вершину з центром циркумсцентри. Існує безліч способів розділити будь-який прямокутник на неконгруентні нерівнобедрені трикутники, кожен з яких можна замінити трьома рівнобедреними трикутниками, і я думаю, що має бути легко знайти перегородку, для якої ця конструкція створює неконгруентні рівнобедрені трикутники .

Нехай $ A B C D in mathbb R ^ 2 $ - вершини прямокутника, де $ A + C = B + D = mathbb 0 $ - початок координат. Нехай $ E $ належить інтервалу $ BD, $ і має бути таким, щоб $ AE $ і $ BD $ були перпендикулярними один до одного.

Тоді ми отримуємо наступний розділ квадрата на шість рівнобедрені трикутники (вершини на симетричній лінії вказані як середина трьох вершин):

$ A frac2 E $ $ B frac2 E $ $ A frac2 E $ $ D frac2 E $ $ B quad mathbb 0 quad C $ $ C quad mathbb 0 quad D $

Таким чином, проблема вирішена за допомогою трикутників $ mathbf 6 $ у випадку всіх прямокутників але квадрати- лише у випадку квадрата деякі із заданих $ mathbf 6 $ трикутників є конгруентними. В іншому випадку ми отримуємо три пари трикутників, які мають однакову площу всередині пари, але різні для різних пар. А всередині пари один трикутник гострий (тобто всі його кути гострі), а один тупий. Таким чином, жодна з шести не є конгруентною.

У випадку квадрата конструкція @ Wolfgang забезпечує $ 7 $ трикутників. Однак $ mathbf 5 $ цілком достатньо.

Потім розглянемо наступне рівнобедрене розкладання квадрата $ [01] ^ 2 $:

$ (0 0) quad (0 1) quad (1 1) $ $ (0 0) quad (a 0) quad (a a) $ $ (a 0) quad (a a) quad (1 1) $ $ (a 0) quad ( frac2 , frac 12) quad (1 0) $ $ (1 0) quad ( frac2 , frac 12) quad (1 1) $


2 відповіді 2

розгляньте, що говорила інша відповідь, розмістивши t у квадрат, але замість того, щоб просто залишити його як квадрат, встановіть фігури у списку. Потім використовуйте True і False, щоб заповнити вкладений список як фігуру, тобто [[True, True, True], [False, True, False]] для вашої фігури T. Потім за допомогою функції розмістіть фігури на сітці. Щоб оптимізувати результати, створіть трекер, який звертатиме увагу на те, скільки помилок у новій фігурі перекриваються істинами, які вже є в сітці з попередніх фігур. Функція розмістить фігуру на місці з найбільшим перекриттям. Потрібні будуть модифікації для створення все більших і вищих оптимізацій, але це загальна передумова, яку ви шукаєте.

Хтось бажає гри в тетріс (підгрупа вашої проблеми)?

Це відоме як проблема упаковки. Не знаючи, з якими формами ви можете зіткнутися заздалегідь, може бути дуже складно, а то й неможливо придумати алгоритм, який дасть вам найкращу відповідь. Більш ніж ймовірно, якщо ваші багатокутники не є "приємними" багатокутниками (кола, квадрати, рівносторонні трикутники тощо), вам, мабуть, доведеться погодитися на евристику, яка дає вам приблизне найкраще рішення більшу частину часу.

Загальною евристикою (хоча далеко не оптимальною залежно від форми вхідного багатокутника) було б спрощення задачі, намалювавши прямокутник навколо багатокутника, щоб прямокутник був просто достатньо великим, щоб охопити багатокутник. (Як приклад на діаграмі нижче ми малюємо червоний прямокутник навколо синього багатокутника.)

Після цього ми можемо взяти цей прямокутник і спробувати вмістити якомога більшу кількість цього прямокутника у великий прямокутник. Це спрощує проблему до проблеми упаковки прямокутника, яку легше вирішити та обернути головою. Приклад алгоритму для цього знаходиться за таким посиланням:

Зараз очевидно, що ця евристика не є оптимальною, коли розглянутий багатокутник не наближається до тієї ж форми, що і прямокутник, але він дає вам мінімальну базову лінію для роботи, особливо якщо ви не маєте знань про те, як буде виглядати ваш багатокутник подобається (або існує велика різниця у тому, як буде виглядати багатокутник). Використовуючи цей алгоритм, він заповнив би великий прямокутник приблизно так:

Ось те саме зображення без проміжних прямокутників:

Для випадку цих Т-подібних багатокутників евристика є не найкращою, якою вона могла б бути (насправді це може бути чи не найгіршим сценарієм для цього запропонованого наближення), але вона буде дуже добре працювати для інших типів полігонів.


2 відповіді 2

Це дуже цікаве питання. Ось мотиваційний приклад, за яким слідує гіпотетичне рішення.

Розглянемо проблему поділу одиничної площі на прямокутники $ 28 $, щоб мінімізувати максимальну діагональ будь-якого з прямокутників.

Використання $ 28 $ прямокутників фігури $ frac14 times frac17 $ дає діагональ $ sqrt < frac1 <16> + frac1 <49>> ​​approx sqrt <0.0829> $

Використання $ 25 $ квадратів сторони $ frac15 $, а потім поділ на три на отримання $ 28 $ прямокутників дає максимальну діагональ $ sqrt < frac2 <25>> = sqrt <0.08> $

Оскільки $ 28 = 10 + 18, $ ще одним варіантом є наведена нижче конфігурація. Здається очевидним, що оптимально мати рівні діагоналі, що дає систему рівнянь $ 3u + 2v = 1 text <і> frac1 <36> + u ^ 2 = frac1 <25> + v ^ .2 $ Тут дві рівні сторони другого рівняння - це квадрат діагоналі. Рішенням виявляється $ u = frac <45-13 sqrt <5>> <75> $ і $ v = frac <-20 + 13 sqrt <5>> <50> $ з діагоналями $ sqrt < frac <269-130 sqrt <5>> <500>> approx sqrt <0.0729>. $ Я думаю, але не стверджую, що це є оптимальним. Я вважаю, що це може бути оптимальним серед рішень, що складаються з рядів, що йдуть поруч.

Загальна проблема полягає в тому, що з урахуванням прямокутника розмірами $ a times b $ (де можна взяти $ a le b $) та цілого числа $ n $, знайдіть поділ прямокутника на $ n $ підпрямокутників у таких спосіб мінімізувати найдовшу діагональ будь-якого прямокутника. Я думаю, що оптимальним рішенням будуть рівні рівні всі діагоналі. Однак уточнимо, що серед рішень з найдовшою діагоналлю шортів ми віддаємо перевагу тому, у якого діагоналі максимально наближені до рівних, скажімо, такі, що мінімізують $ sum_ <1 le i_1 lt i_2 le n> (d_-d_) ^ 2 $ де $ d_i $ - діагональ $ i $ -го підпрямокутника.

Ідея (представлена ​​динамічно) полягає в тому, щоб почати з поділу прямокутника на $ j $ рядки прямокутників $ k $, усі розміри $ frac раз frac$ де $ j $ і $ k $ - цілі числа, які потрібно вказати за допомогою $ jk ge n. $ Потім видаліть $ jk-n $ прямокутники, залишаючи будь-який

  • $ j $ рядки, $ jk-n $ з прямокутниками $ k-1 $, а решта - з прямокутниками $ k $ АБО
  • $ k $ стовпців, $ jk-n $ з прямокутниками $ j-1 $, а решта - з прямокутниками $ j $.

Припустимо, це перший випадок, інший той самий mutatis mutandis. Потім робимо, щоб усі прямокутники в дефіцитних рядках мали ширину $ frac$, а потім відрегулюйте рядки, щоб кожен із двох видів прямокутників мав однакову діагональ. Тобто ми використовуємо прямокутники розмірами $ u times frac$ і $ v times frac$ де

Залишилося вказати $ j $ і $ k $. Якби завданням було знайти $ n $ непересічних прямокутників із загальною площею $ ab $ та мінімізувати максимальну діагональ, то рішенням стали б $ n $ квадрати сторони $ s = sqrt < frac> $ і діагональ $ sqrt < frac <2ab>>. $ Ми, звичайно, не можемо зробити краще, ніж це для даної задачі, і можемо зробити це добре саме тоді, коли $ a $ і $ b $ є цілими кратними $ s. $ Щоб усунути крайній випадок, який точно не підходить подальший опис: якщо $ a lt s $, то використовуйте один рядок прямокутників $ a times frac. $ В іншому випадку нехай $ j '= Big lfloor frac Великий rfloor text <і> k '= Великий lfloor frac Big rfloor. $ Розглянемо варіанти $ j = j '+ 1, k = k' $ і $ j = j ', k = k' + 1 $. Якщо обидва задовольняють $ jk ge n, $ спробуйте обидва (я здогадуюсь, що той, що мінімізує $ jk $, краще). Якщо тільки один, використовуйте його. Нарешті, якщо ні того, ні іншого, використовуйте $ j = j '+ 1, k = k' + 1. $

Цей опис має одну спробу до 4 доларів США. Певна кількість експериментів, яку я не робив, може дозволити гіпотезі, а потім, можливо, довести правила щодо того, який вибір зробити для $ j, k $, а який вибір (рядки чи стовпці) усікати. Це також забезпечить перевірку, чи працює описаний опис. Наприклад, я неявно припускаю (у першому випадку), що $ j ge jk-n. $ Якщо і це, і $ k ge jk-n $ можуть вийти з ладу при одній і тій же краватці, то в описі щось не так.


Плитка прямокутника квадратами: наскільки унікальними є мінімальні рішення?

Це продовження моєї недавньої теми про встановлення прямокутника $ m times n $ з квадратами:

Мені цікаво, наскільки мінімальна плитка по суті унікальний, тобто аж до відображень цілого прямокутника або (плиткових) прямокутників, що містяться в ньому. Я вважаю, що це визначення рівнозначно сказанню, що колекція квадратних сторін унікальна.

По-перше, дозвольте мені запропонувати більш відповідне визначення зводимості, ніж в іншому потоці:

Ми будемо називати прямокутник (або мінімальну його плитку) зводима якщо його можна розділити на два (плиткові) прямокутники.

Погравши трохи з незводящими плитками, у мене складається враження, що завжди є деякі квадрати, які утворюють менший прямокутник, але, окрім відбиттів всередині цих менших прямокутників, така плитка є унікальною.

Чи всі невивідні плитки по суті унікальні?

Чи всі мінімальні черепиці містять (плитковий) прямокутник?

Найменші незвідні прямокутники

$ (13,11) quad (17,16) quad (19,16) quad (19,17) quad (19,18) quad (20,17) quad (21,19) quad (25,23) quad $ $ (26,22) quad (27,23) quad (27,25) quad (28,27) quad (29,25) quad (29,27) quad (31,23) quad (31,25) quad $ $ (31,26) quad (31,27) quad (31,28) quad (31,29) quad (31,30) quad (32,27) quad (32,29) quad (32,31) quad $ $ (33,26) quad (33,28) quad (34,25) quad (34,32 ) quad (35,31) quad (35,34) quad (36,31) quad (37,29) $.

Зараз дивимось скорочувані прямокутники:

Зверніть увагу, що скорочуваний прямокутник може бути розділений горизонтально або вертикально, часто кількома способами, а іноді і обома одночасно. Наприклад, $ f (15,8) = f (7,8) + f (8,8) = f (15,3) + f (15,5) $. Тож ці плитки далеко не унікальні. Але тепер:

Ми будемо називати прямокутник (або мінімальну його плитку) спільно-привідний якщо прямокутник можна розділити на два (викладені плитками) прямокутники, котрі мають спільні сторони.

Для заданих $ m le 85 $ більшість (у середньому близько 90%) прямокутників $ m times n $ з $ n lt m $ можна зменшити. Але в усьому асортименті є немає прямокутник, котрий зводиться до первинного числа.

Чи можна показати, що прямоугольники, що зводяться до простоти, не існують?

РЕДАКТУВАТИ: Зверніть увагу, що оскільки значення $ f (m, n) $ для даного m та для спільних $ n $ між $ m / 2 $ та $ 2m $, здається, дуже близькі одне до одного, значення coprime-зменшуваного в цьому діапазоні повинно бути приблизно вдвічі більше інших. Цей вид евристично виключає їх існування.